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题目描述

1到n的n个连续的数字组成一个数组，n为3的倍数。
每次按顺序从数组中取出3个元素，去掉这3个元素中的一个最大值和一个最小值，并将剩下的元素累计为S，S初始值为0。
可以通过调整数组中元素的位置改变最终结果，每移动一个元素计为移动一次。
请计算最少移动几次可以使得数组和S最大。

输入描述:
数组长度n的范围为[3,600]
数组中数字范围[1,10000]
数组由一个字符串表示，不同数字元素之间使用空格分隔

输出描述:
移动次数是一个自然数
无需移动，返回0

用例

输入	1 2 3
输出	0
说明	只有一个三元组[1,2,3]，去掉最大最小值Q后剩下2，S=2。无需移动。

输入	3 8 9 7 4 2 5 6 1
输出	1
说明	8+4+5=17 三个三元组:389->8，742->4，561->5，对应的S值为8+4+5=17 将7移动到56之间,三元组调整结果为389，425，761, 389->8，425->4，761->6，8+4+6=18, 18 是所有排列中的最大值，输出 1

通过BFS求解最小移动次数以最大化分组中位数和

解题思路与分析

题目要求我们通过最小移动次数调整数组元素位置，使得数组分组后中位数和达到理论最大值。这是一个典型的状态空间搜索问题，我们可以使用广度优先搜索(BFS) 来寻找最优解。

核心思路

1. 理论最大S值：通过数学推导，理论最大S值为 (2 * n * n) // 9
2. 状态空间搜索：
   • 每个状态表示数组的一种排列
   • 状态转换：移动一个元素到新位置
   • 目标状态：S值达到理论最大值
3. BFS优势：
   • 逐层搜索保证找到最小移动次数解
   • 使用哈希集合记录访问状态避免重复计算

完整代码实现

from collections import dequedef calculate_s_value(arr):"""计算数组的S值将数组按每3个元素分组，每组去掉最大值和最小值，保留中间值所有中间值的和就是S值参数:arr: 输入数组返回:S值（所有三元组中间值的和）"""total_s = 0# 按每3个元素进行分组处理for i in range(0, len(arr), 3):# 提取当前三元组并排序，取中间值（索引1）triplet = sorted([arr[i], arr[i+1], arr[i+2]])total_s += triplet[1]  # 累加中间值return total_sdef get_all_one_moves(arr):"""生成当前数组状态下所有可能的一步移动结果一步移动定义为：取出一个元素，插入到另一个位置参数:arr: 当前数组状态返回:所有可能的一步移动后的数组状态列表（以tuple形式存储）"""moves = []n = len(arr)# 遍历每个可以移动的元素位置for i in range(n):element = arr[i]  # 要移动的元素# 创建移除该元素后的临时数组temp_arr = arr[:i] + arr[i+1:]# 尝试将该元素插入到每个可能的位置for j in range(n):# 构造插入元素后的新数组new_arr = temp_arr[:j] + [element] + temp_arr[j:]# 只保留真正改变了状态的数组（排除原地不动的情况）if new_arr != arr:moves.append(tuple(new_arr))  # 转换为tuple便于后续去重return movesdef solve():"""主求解函数使用BFS（广度优先搜索）找到达到最大S值所需的最少移动次数"""# 读取输入并解析为整数数组arr = list(map(int, input().split()))n = len(arr)# 计算理论最大S值# 根据题目提示，最大S值为 2*n*n/9s_max = (2 * n * n) // 9# 初始化BFS队列和访问集合# 队列元素格式：(数组状态tuple, 移动次数)queue = deque([(tuple(arr), 0)])# 使用集合记录已访问的状态，避免重复搜索visited = {tuple(arr)}# BFS主循环while queue:# 取出队首状态current_state, moves = queue.popleft()# 将tuple转回list便于计算current_arr = list(current_state)# 检查当前状态是否达到最大S值if calculate_s_value(current_arr) == s_max:print(moves)  # 输出最少移动次数return# 如果还没有超过最大搜索深度，继续扩展搜索if moves < n:# 获取当前状态的所有一步移动结果for next_state in get_all_one_moves(current_arr):# 如果这个状态没有被访问过if next_state not in visited:visited.add(next_state)  # 标记为已访问# 将新状态加入队列，移动次数+1queue.append((next_state, moves + 1))# 如果在n步内找不到解决方案，输出n作为默认值# 理论上对于有效输入，应该能在n步内找到解print(n)# 调用主求解函数
solve()

代码实现解析

1. 计算S值函数

def calculate_s_value(arr):total_s = 0for i in range(0, len(arr), 3):triplet = sorted([arr[i], arr[i+1], arr[i+2]])total_s += triplet[1]return total_s

• 功能：计算当前数组排列的S值
• 实现：按三个一组分割数组，每组排序取中间值
• 时间复杂度：O(n)，其中n为数组长度

2. 生成所有可能移动

def get_all_one_moves(arr):moves = []n = len(arr)for i in range(n):element = arr[i]temp_arr = arr[:i] + arr[i+1:]for j in range(n):new_arr = temp_arr[:j] + [element] + temp_arr[j:]if new_arr != arr:moves.append(tuple(new_arr))return moves

• 功能：生成所有一步移动后的可能状态
• 关键操作：
  1. 取出元素：创建移除该元素的临时数组
  2. 插入元素：尝试所有可能的插入位置
  3. 排除原地不动的情况
• 状态数量：对长度为n的数组，最多生成n × (n-1)个新状态

3. BFS主算法

def solve():arr = list(map(int, input().split()))n = len(arr)s_max = (2 * n * n) // 9queue = deque([(tuple(arr), 0)])visited = {tuple(arr)}while queue:current_state, moves = queue.popleft()current_arr = list(current_state)if calculate_s_value(current_arr) == s_max:print(moves)returnif moves < n:for next_state in get_all_one_moves(current_arr):if next_state not in visited:visited.add(next_state)queue.append((next_state, moves + 1))print(n)

• 初始化：开始状态为输入数组，移动次数为0
• BFS核心：
  1. 检查当前状态S值是否达到最大
  2. 生成所有一步移动状态
  3. 过滤已访问状态
  4. 新状态加入队列
• 终止条件：
  • 找到目标状态：输出移动次数
  • 超过n步未找到：输出n作为安全值

示例解析

示例1：输入 “1 2 3”

初始状态: (1, 2, 3)
S值计算: sorted([1,2,3])[1] = 2
理论最大值: (2×3×3)//9 = 2
无需移动 → 输出0

示例2：输入 “3 8 9 7 4 2 5 6 1”

理论最大值: (2×9×9)//9 = 18
初始状态: [3,8,9,7,4,2,5,6,1]
初始S值: 第一组 [3,8,9] → 中位数8第二组 [7,4,2] → 中位数4第三组 [5,6,1] → 中位数5总S=17BFS第一步:移动7到末尾: [3,8,9,4,2,5,6,1,7]分组: [3,8,9]→8, [4,2,5]→4, [6,1,7]→6 → S=18 ✓移动次数=1 → 输出1

状态空间示例（n=3）

初始状态: (1,2,3)
第一层移动:(2,1,3), (2,3,1)(3,1,2), (1,3,2)(1,2,3) 被排除

总结与应用

关键知识点

1. BFS应用：解决状态空间搜索问题
2. 问题建模：将优化问题转化为状态转移问题
3. 移动操作：元素移除与插入的实现技巧
4. 状态哈希：使用元组和集合管理访问状态

适用场景

1. 小规模组合优化问题（n≤12）
2. 需要精确最优解的场合
3. 移动操作定义明确的状态转移问题

核心启示

“BFS虽然不总是最高效的解法，但在未知解深度且需要最优解的场景中，它提供了一种可靠且直观的搜索策略。”

通过这个解法，我们不仅解决了具体问题，更重要的是展示了状态空间搜索的通用解法框架，可应用于各类排列优化问题。初学者可从此案例学习如何将实际问题转化为状态空间搜索模型，并实现基础BFS算法。