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运动模态

  控制系统的数学建模，可以采用微分方程或传递函数，两者具有相同的特征方程。在数学上，微分方程的解由特解和通解组成，具体求解过程可以参考：微分方程求解的三种解析方法。

  如果$n$阶微分方程，具有$n$个互不相等的单重特征根${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，则称$e^{{\lambda }_{1}t},e^{{\lambda }_{2}t},...,e^{{\lambda }_{n}t}$为该系统的模态，也叫振型。每一种模态表示一种类型的运动形态，微分方程的齐次解为它们的线性组合，即
$$y\left(t\right)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}+...+c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}$$

  对于其它类型的特征根类型，所对应的齐次解或模态表达式，如下所示：

极点与模态类型

  相同权重下，对比不同模态所对应的冲击响应，结果如下。取传递函数为$\frac{1}{s+1}$、$\frac{1}{s+10}$和$\frac{1}{s+100}$，对应模态为$e^{-t}$、$e^{-10t}$和$e^{-100t}$。所谓权重，指的是模态前的系数（这里均为1）。

clc;clear;close all;sys1 = tf(1, [1 1]);   sys2 = tf(1, [1 10]);  sys3 = tf(1, [1 100]);  t = 0:0.01:10;
[y1, t1] = impulse(sys1, t);  [y2, t2] = impulse(sys2, t);  [y3, t3] = impulse(sys3, t);figure;  hold on;
plot(t1, y1, 'b', 'LineWidth', 1.5); % 蓝色线表示1/(s+1)
plot(t2, y2, 'r', 'LineWidth', 1.5); % 红色线表示1/(s+10)
plot(t3, y3, 'g', 'LineWidth', 1.5); % 绿色线表示1/(s+100)legend('1/(s+1)', '1/(s+10)', '1/(s+100)');
xlabel('Time (s)');ylabel('Impulse Response');grid on;

  总结：同等权重情况下，负实部越远离零轴，模态衰减越快；负实部越靠近零轴，模态衰减越慢；

零点与模态权重

  将两种模态（$e^{-t}$和$e^{-10t}$）进行等比例混合，结果如下：
$$G\left(s\right)=\frac{0.5}{s+1}+\frac{0.5}{s+10}=\frac{s+5.5}{\left(s+1\right)\left(s+10\right)}$$
  可以看到，混合的过程产生了一个特定的零点。也就是说，零点不引入新的模态，但却与各模态的相对权重有关。更一般地，假设零点为$-z$，分析权重$\alpha 、\beta$随$z$的变化规律，如下所示：
$$G\left(s\right)=\frac{s+z}{\left(s+1\right)\left(s+10\right)}=\frac{\alpha }{s+1}+\frac{\beta }{s+10}=\frac{\frac{1}{9}z-\frac{1}{9}}{s+1}+\frac{\frac{10}{9}-\frac{1}{9}z}{s+10}$$

clc;clear;close all;
z = 0:0.5:11;  alpha = (1/9) * z - (1/9);  beta = (10/9) - (1/9) * z;figure;  hold on; 
plot(z, alpha, '-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '\alpha');
plot(z, beta, '-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '\beta');title('Comparison of \alpha and \beta vs. z');  legend('\alpha', '\beta');  grid on;
xlabel('零点位置');  ylabel('相对权重');  xticks([0,1,5.5,10]);  yticks([0,0.5,1]);  

  总结：零点不引入模态，但却影响模态权重；当极点附近有零点时，对应模态权重明显下降，重叠时甚至会被对消；

输入与最终模态

  最终响应模态不仅与系统固有传函有关，还与输入有关。假设系统传递函数为：
$$G\left(s\right)=\frac{C\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{6\left(s+3\right)}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)}$$
  系统包含$e^{-t}$、$e^{-2t}$两个运动模态。当输入为$r\left(t\right)=R_1+R_2{e}^{-5t}$时，系统最终零状态响应为：
$$\{\begin{array}{rl}c\left(t\right)& ={\mathcal{L}}^{-1}\left[C\left(s\right)\right]={\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{6\left(s+3\right)}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)}\left(\frac{R_1}{s}+\frac{R_2}{s+5}\right)\right]\\ & =9R_1-R_2{e}^{-5t}+\left(3R_2-12R_1\right)e^{-t}+\left(3R_1-2R_2\right)e^{-2t}\end{array}$$

其中，前两项具有与输入函数$r(t)$相同的模态；后两项则包含了由系统固有极点形成的模态。

总结

• 同等权重情况下，负实部越远离零轴，模态衰减越快；负实部越靠近零轴，模态衰减越慢；
• 零点不引入模态，但却影响模态权重；当极点附近有零点时，对应模态权重明显下降；
• 最终模态类型与系统极点和输入极点有关；模态权重与系统零点和输入零点有关（严格来说，极点与初始值也会影响权重）；
• 当闭环极点同时满足，①靠近零轴，②附近无零点；它将能够在较长时域内决定整体曲线走势，也被称为主导极点；

参考文献

[1] 胡寿松. 自动控制原理 (第六版) [M]. 科学出版社, 2013.
[2] 余成波. 信号与系统 (第二版) [M]. 清华大学出版社, 2007.
[3] CSDN博客：微分方程求解的三种解析方法和Matlab实现：经典时域法（齐次解+特解，零状态+零输入），冲激响应卷积法、传递函数法。