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题目

https://leetcode.cn/problems/binary-search/description/

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target  ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9     
输出: 4       
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4     

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2     
输出: -1        
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1    

提示：

• 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
• n 将在 [1, 10000]之间。
• nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路

这道题前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

下面我用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。

二分法 第一种写法

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

• while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
• if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：

代码如下：（详细注释）（C++）

// 版本一
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2if (nums[middle] > target) {right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]} else { // nums[middle] == targetreturn middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

二分法第二种写法

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

• while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
• if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）

代码如下：（详细注释）（C++）

// 版本二
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <int middle = left + ((right - left) >> 1);if (nums[middle] > target) {right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中} else { // nums[middle] == targetreturn middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标}}// 未找到目标值return -1;}
};

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

总结

二分法是非常重要的基础算法，为什么很多同学对于二分法都是一看就会，一写就废？

其实主要就是对区间的定义没有理解清楚，在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。

区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。

本篇根据两种常见的区间定义，给出了两种二分法的写法，每一个边界为什么这么处理，都根据区间的定义做了详细介绍。

相信看完本篇应该对二分法有更深刻的理解了。

注意

在下面的代码中，使用 middle = left + (right - left) / 2 而不是 middle = (left + right) / 2 的主要原因是为了防止整数溢出。

当 left 和 right 都很大且接近 int 类型的最大值时，它们的和可能会超出 int 类型能够表示的范围，从而导致溢出。溢出后的结果再除以2，可能会导致一个不正确的中间索引值。

为了避免这种溢出情况，我们计算 right - left，这个差值一定小于或等于 right，然后再加到 left 上。这样即使 right 很大，right - left 仍然是一个可以安全处理的整数，再与 left 相加，并进行整数除法，就可以得到一个正确的中间索引，而不会导致溢出。

因此，虽然 middle = (left + right) / 2 在很多情况下也能正常工作，但在处理非常大的整数时，使用 middle = left + (right - left) / 2 更为稳妥和安全。这是一种常见的二分查找算法中的优化技巧，用于确保代码在极端情况下也能正确运行。

小提示

对于 middle = left + (right - left) / 2，这个表达式中的操作包括加法、减法和整数除法。在这个特定的表达式中，减法和加法具有相同的优先级，并且都是左结合的，所以它们会按照从左到右的顺序进行。整数除法 / 在这个表达式中的优先级低于加法和减法，所以加法和减法会首先进行。

其他语言版本

Java

（版本一）左闭右闭区间

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {// 避免当 target 小于nums[0] nums[nums.length - 1]时多次循环运算if (target < nums[0] || target > nums[nums.length - 1]) {return -1;}int left = 0, right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = left + ((right - left) >> 1);if (nums[mid] == target)return mid;else if (nums[mid] < target)left = mid + 1;else if (nums[mid] > target)right = mid - 1;}return -1;}
}

（版本二）左闭右开区间

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length;while (left < right) {int mid = left + ((right - left) >> 1);if (nums[mid] == target)return mid;else if (nums[mid] < target)left = mid + 1;else if (nums[mid] > target)right = mid;}return -1;}
}

Python

（版本一）左闭右闭区间

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums) - 1  # 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]while left <= right:middle = left + (right - left) // 2if nums[middle] > target:right = middle - 1  # target在左区间，所以[left, middle - 1]elif nums[middle] < target:left = middle + 1  # target在右区间，所以[middle + 1, right]else:return middle  # 数组中找到目标值，直接返回下标return -1  # 未找到目标值

（版本二）左闭右开区间

class Solution:def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:left, right = 0, len(nums)  # 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)while left < right:  # 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <middle = left + (right - left) // 2if nums[middle] > target:right = middle  # target 在左区间，在[left, middle)中elif nums[middle] < target:left = middle + 1  # target 在右区间，在[middle + 1, right)中else:return middle  # 数组中找到目标值，直接返回下标return -1  # 未找到目标值

C

（版本一）左闭右闭区间

// (版本一) 左闭右闭区间 [left, right]
int search(int* nums, int numsSize, int target){int left = 0;int right = numsSize-1;int middle = 0;//若left小于等于right，说明区间中元素不为0while(left<=right) {//更新查找下标middle的值middle = (left+right)/2;//此时target可能会在[left,middle-1]区间中if(nums[middle] > target) {right = middle-1;} //此时target可能会在[middle+1,right]区间中else if(nums[middle] < target) {left = middle+1;} //当前下标元素等于target值时，返回middleelse if(nums[middle] == target){return middle;}}//若未找到target元素，返回-1return -1;
}

（版本二）左闭右开区间 

// (版本二) 左闭右开区间 [left, right)
int search(int* nums, int numsSize, int target){int length = numsSize;int left = 0;int right = length;	//定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)int middle = 0;while(left < right){  // left == right时，区间[left, right)属于空集，所以用 < 避免该情况int middle = left + (right - left) / 2;if(nums[middle] < target){//target位于(middle , right) 中为保证集合区间的左闭右开性，可等价为[middle + 1,right)left = middle + 1;}else if(nums[middle] > target){//target位于[left, middle)中right = middle ;}else{	// nums[middle] == target ，找到目标值targetreturn middle;}}//未找到目标值，返回-1return -1;
}