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动态规划题目汇总

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13……
递归一把解决三类问题：1.数据定义是按照递归的（斐波那契数列）。2.问题解法是按递归算法实现的。 3.数据形式是按照递归形式定义的。
递归的一般形式：

void rec(形参列表)
{if(test) return;  //边界条件//！！！注意！！！  递归一定要有边界条件！！！否则就会死循环！！！rec(实参列表)     //递归调用语句序列2         //递归返回段(回溯)
}

1. 有一种兔子，从出生后第3个月起每个月都生一只兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一只兔子。例：假设一只兔子第3个月出生，那么它第5个月开始会每个月生一只兔子。一月的时候有一只兔子，假如兔子都不死，问第n个月的兔子总数为多少？
   输入一个int型整数表示第n个月
   输出对应的兔子总数

#include <iostream>
using namespace std;
int total(int n);
int total(int n)
{if(n==1||n==2)//这个叫边界条件return 1;elsereturn total(n-1)+total(n-2);//递归调用
}
int main() {//斐波那契数列int n,num;cin>>n;num=total(n);cout<<num;
}

2. 把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 注意：如果有7个苹果和3个盘子，（5，1，1）和（1，5，1）被视为是同一种分法。

解题思路：
假设有m个苹果和n个盘子，我们可以将问题分为两种情况： 1. 盘子中至少有一个盘子为空：这种情况下，我们可以将m个苹果放在n-1个盘子中，即将问题转化为将m个苹果放在n-1个盘子中的分法。所以，这种情况下的分法数为f(m, n-1)。 2. 盘子中所有盘子都有苹果：这种情况下，我们可以将每个盘子中放入一个苹果，然后将剩余的m-n个苹果放在n个盘子中，即将问题转化为将m-n个苹果放在n个盘子中的分法。所以，这种情况下的分法数为f(m-n, n)。 综上所述，将m个苹果放在n个盘子中的分法数为f(m, n) = f(m, n-1) + f(m-n, n)。
边界条件： - 当m=0时，表示没有苹果需要放入盘子中，所以只有一种分法，即所有盘子都为空。 - 当n=0时，表示没有盘子可以放苹果，所以没有分法。 根据上述递推关系和边界条件，可以使用递归或动态规划的方法来求解。

#include <iostream>
using namespace std;int fn(int m,int n)
{if(n<1) return 0;if(m<0) return 0;if(m==0) return 1;return fn(m-n,n)+fn(m,n-1);//没有空盘子+有1个空盘子
}int main() {int m,n;cin>>m>>n;cout<<fn(m,n);
}

3. n*m的棋盘格子（n为横向的格子数，m为竖向的格子数）从棋盘左上角出发沿着边缘线从左上角走到右下角，总共有多少种走法，要求不能走回头路，即：只能往右和往下走，不能往左和往上走。

#include <iostream>
using namespace std;
int digui(int x,int y)
{if(x==1||y==1)//只有一行或者一列的时候，就有x+y种方法return x+y;    //否则就往上或者往下走一步。return digui(x-1,y)+digui(x,y-1);//if(x==0)//return 1;//if(y==0)//return 1;//return x+y;    //否则就往上或者往下走一步。//return digui(x-1,y)+digui(x,y-1);//if(m<0||n<0)//return 0;//else if(n==1&&m==0)//return 1;//else if(m==1&&n==0)//return 1;//else  //return(digui(m-1, n)+digui(m,n-1));
}int main() {int m,n;cin>>n>>m;cout<<digui(m,n);}

最长递增子序列问题：

4.

class Solution {public:int LIS(vector<int>& arr) {if (arr.empty())return 0;int N = arr.size();vector<int>dp(N, 1);int maxLen = 1;for (int i = 1; i < N; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (arr[i] > arr[j]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); //长度加1}}maxLen = max(maxLen, dp[i]);//更新最大长度}return maxLen;}};

5. BFS（广度优先搜索算法）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
int Map[5][5];  //定义地图大小
int dir[4][2]= {1,0,-1,0,0,-1,0,1};  //定义方向
int n,m,ans;
struct node
{int x,y,step;} now,nextt;  //保存走步
int BFS(int x,int y)
{queue<node>q;int xx,yy,zz;Map[x][y]=2;  //走过初始点now.x=x;now.y=y;now.step=0;q.push(now);  //从当前点开始while(!q.empty()){now=q.front();q.pop();for(int i=0; i<4; i++)  //遍历四个方向{xx=now.x+dir[i][0];yy=now.y+dir[i][1];  //走一步if(xx>=0&&xx<5&&yy>=0&&yy<5&&Map[xx][yy]!=1&&Map[xx][yy]!=2)  //可以走{nextt.x=xx;nextt.y=yy;nextt.step=now.step+1;  //步数加一Map[now.x][now.y]=2;   //走过一个点if(Map[xx][yy]==3)  //到达终点return nextt.step;q.push(nextt);}for(int i=0; i<5; i++){      //打印地图for(int j=0; j<5; j++)cout << Map[i][j];cout << endl;}cout << endl;}}return -1;   //走不过去
}int main()
{for(int i=0; i<5; i++)     //输入地图for(int j=0; j<5; j++)cin >> Map[i][j];Map[4][4]=3;  //定义终点ans=BFS(0,0);cout << ans<< endl;return 0;}

自己重构的走迷宫的代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
int n,m;
int zuiyou;
vector<vector<int>>maze;  //定义地图大小
struct point{int x,y;
};
int fangxiang[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};  //定义上下左右
vector<vector<int> >path(5,vector<int>(5));//记录每次的方向,0,1,2,3对应上下左右
vector<vector<int>>fan;struct node{int x,y,z;
}now, nextt;;void bfs(int x,int y)
{   // vector<vector<int>> path(n, vector<int>(m));maze[x][y]=2;queue <node> q;now.x=x;now.y=y;now.z=0;q.push(now);while(!q.empty()){   now=q.front();maze[now.x][now.y]=2;q.pop();for( int i=0;i<4;i++){int xx=now.x+fangxiang[i][0];int yy=now.y+fangxiang[i][1];if(xx>=0&&xx<n&&yy>=0&&yy<m&&maze[xx][yy]==3){   path[xx][yy]=i;if(maze[xx][yy]==3)zuiyou=now.z+1;}if(xx>=0&&xx<n&&yy>=0&&yy<m&&maze[xx][yy]==0){   nextt.x=xx;nextt.y=yy;nextt.z=now.z+1;q.push(nextt);path[xx][yy]=i;}}}int ii=n-1,jj=m-1;fan.push_back({ii,jj});while(ii!=0||jj!=0){   int num=path[ii][jj];ii=ii-fangxiang[num][0];   jj=jj-fangxiang[num][1];   fan.push_back({ii,jj});}reverse(fan.begin(),fan.end());
}int main()
{   cin>>n>>m;maze=vector<vector<int>>(n,vector<int>(m));  //定义地图大小    for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<m;j++){cin>>maze[i][j];}}maze[4][4]=3;bfs(0, 0);cout<<zuiyou<<endl;;cout<<endl;for(auto t:fan){cout<<t[0]<<","<<t[1];cout<<endl;}}

6. DFS（深度优先搜索算法）：一般用于查找图中的路径、连通性检测、拓扑排序等。
   深度优先搜索使用栈（Stack）数据结构来保存需要探索的节点。每次访问一个节点时，将其标记为已访问，并将其未访问的邻居节点压入栈中。然后从栈中弹出一个节点，继续访问该节点的未访问邻居节点，直到栈为空。

如果需要找到最短路径，可以考虑使用其他算法，如广度优先搜索（BFS）或 Dijkstra 算法。一般最小步数、最短距离、最小操作次数等问题采用BFS。