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前言

在上一节中，我们总结了Classifier Guidance Diffusion，其有两个弊端，一是需要额外训练一个分类头，引入了额外的训练开销。二是要噪声图像通常难以分类，分类头通常难以学习，影响生成图像的质量。

Classifier Free Guidance Diffusion解决了上述两个弊端，不需要引入额外的分类头即可控制图像的生成。

本节所有符号含义与前文一致，请读者阅读完前三篇博文后在查阅此文。

本文仅总结backbone为DDIM情况下的Classifier Free Guidance Diffusion

推导流程

依据前文可知Classifier Guidance Diffusion的前向过程与反向过程与DDPM一致，且有
$$q(x_t|x_{t-1},y)=q(x_t|x_{t-1})$$

则有$$q(x_t|x_0,y)=q(x_t|x_0)=\mathcal{N}(x_t;\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0,(1-{\bar{\alpha }}_t)\mathcal{I})$$

假设目前有一批基于条件$y$的样本$x_t$，$ϵ(x_t,t,y)$服从标准正态分布，则样本$x_t$将满足
$$x_t=\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}ϵ(x_t,t,y)\text{\hspace{1em}(1.0)}$$

依据Tweedie方法，我们有

$$\begin{array}{r}\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0=x_t+(1-{\bar{\alpha }}_t){\nabla }_{x_t}\log p(x_t|y)\end{array}$$
进而有
$$x_t=\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0-(1-{\bar{\alpha }}_t){\nabla }_{x_t}\log p(x_t|y)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

结合式1.0与1.1，则有

$${\nabla }_{x_t}\log p(x_t|y)=-\frac{1}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}ϵ(x_t,t,y)\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

依据贝叶斯公式，我们有
$$\begin{array}{rl}\log p(x_t|y)& =\log p(y|x_t)+\log p(x_t)-\log p(y)\\ {\nabla }_{x_t}\log p(y|x_t)& ={\nabla }_{x_t}\log p(x_t|y)-{\nabla }_{x_t}\log p(x_t)+{\nabla }_{x_t}\log p(y)\\ & ={\nabla }_{x_t}\log p(x_t|y)-{\nabla }_{x_t}\log p(x_t)\\ & =-\frac{1}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}ϵ(x_t,t,y)+\frac{1}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}ϵ(x_t,t)\end{array}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

回顾一下backbone为DDIM的Classifier Guidance Diffusion的采样流程

将式1.3代入，且引入一个超参数$w$，可得
$$\begin{array}{rl}\widehat{ϵ}& ={ϵ}_{\theta }(x_t)-w\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{\nabla }_{x_t}\log p(y|x_t)\\ & ={ϵ}_{\theta }(x_t)-w({ϵ}_{\theta }(x_t,t)-{ϵ}_{\theta }(x_t,t,y))\\ & =(1-w){ϵ}_{\theta }(x_t,t)+w{ϵ}_{\theta }(x_t,t,y)\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

注意到原论文的推导结果为（为了区分，超参数设为$\hat{w}$）

$$\widehat{ϵ}=(1+\hat{w}){ϵ}_{\theta }(x_t,t,y)-\hat{w}{ϵ}_{\theta }(x_t,t)\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

式1.5和1.4是一致的，均为${ϵ}_{\theta }(x_t,t,y)$与${ϵ}_{\theta }(x_t,t)$的加权和，且权重和为1。

训练流程

依据式1.5，我们需要训练两个神经网络${ϵ}_{\theta }(x_t,t,y)$与${ϵ}_{\theta }(x_t,t)$，前者为的输入包含加噪图片$x_t$以及条件$y$（图像or文字），后者的输入仅包含加噪图像$x_t$。但其实两个神经网络可以共用一个backbone，在训练时，只需要用一定的概率将条件$y$设置为空即可。

测试流程

Classifier Free Guidance Diffusion的测试流程有两次推断

• 将条件$y$空置，得到${ϵ}_{\theta }(x_t,t)$
• 输入条件$y$，得到${ϵ}_{\theta }(x_t,t,y)$
• 利用公式1.5，生成基于条件$y$的图像

可以看到推断成本多了一倍。