波束形成

本质上是设计合适的滤波器，对于一类固定滤波器系数的阵列来说，无论输入信号或者噪声信号的统计特征如何，其滤波器系数固定不变，此类波束形成叫Fixed Beamforming，固定波束形成好比传统数字信号处理里面的经典滤波器；与此相对的一类就是自适应滤波器，阵列里就有相应的Adaptive Beamforming，其滤波器的系数是跟随着噪声场的变化而变化的。

波束问题建模：

theta为入射角，\tau_0 为入射角等于0时两个麦克风之间的时延，f代表频率：导向矢量可表示为：

观测信号y：

观测信号的功率谱密度:

其中x(f)为信号的方差，v(f)为噪声的相关系数矩阵。

阵列信号处理无非就是对每个接受信号乘以滤波器的系数在求和，在频域表现则是直接频谱相乘再相加：

阵列的在频率等于f时候的滤波器系数：

MVDR就是在中令

性能指标：

性能指标都是关于频率的函数，即提到以下指标时要注明所讨论的频率

1、阵列增益：

为噪声的空间相关系数矩阵。

2、白噪声增益：

当噪声是白噪声时，空间中不同的任意两点的相关系数为0，所以上述噪声空间相关系数矩阵是主对角为1，其余全为0 的单位阵

白噪声增益可以看成是信噪比增益的特例，在相应的假设条件下，其实阵列的白噪声增益就是波束形成器系数的范数。
从公式可以看出，如果波束形成器加权向量w乘以一个标量，阵增益保持不变。所以在波束设计过程中，长对加权向量进行归一化处理，让波束输出信号的功率谱与输入信号的功率谱保持一致，即应该：

3、指向性因子：

考虑阵列工作于扩散声场，因此可同理写为：

扩散噪声场模型：

4、波束图

基本概念：

1、空间混叠：

空间发生混叠，即阵列分不清信号来自哪个方向了，也就是存在两个不同的 theta, 满足


此时steering vector中的任一项是满足在两个角度下相等的，所以，此时发生了混叠。由基本三角函数定理

只有才不会发生空间混叠。

2、阵列孔径大小：

连续线阵长度与波长的比值 L/lamda 被称为孔径大小，线阵的孔径越大，其波束主瓣宽度越窄。而且，所有波束的第一旁瓣高度相等，均为-13.26dB。