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深度学习中常用的激活函数有sigmoid、tanh、ReLU、LeakyReLU、PReLU等。

1. Sigmoid函数

Sigmoid函数公式为 $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$，它的输出值在[0,1]之间，可以用来解决二元分类问题。它的主要特点是它是可导的，并且输出值可以被解释为概率。但是，如果输入值过大或过小，会导致梯度消失问题，对于较深的神经网络来说不太适用。

PyTorch的代码示例：

import torch.nn.functional as Fclass Net(nn.Module):def __init__(self):super(Net, self).__init__()self.fc1 = nn.Linear(10, 5)self.fc2 = nn.Linear(5, 1)def forward(self, x):x = F.sigmoid(self.fc1(x))x = F.sigmoid(self.fc2(x))return x

2. Tanh函数

Tanh函数公式为 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$，它的输出值在[-1,1]之间，可以用来解决回归问题。与sigmoid不同的是，它的输出是以0为中心的，因此幂次大的输入值仍然会导致梯度消失问题。

PyTorch的代码示例：

import torch.nn.functional as Fclass Net(nn.Module):def __init__(self):super(Net, self).__init__()self.fc1 = nn.Linear(10, 5)self.fc2 = nn.Linear(5, 1)def forward(self, x):x = F.tanh(self.fc1(x))x = F.tanh(self.fc2(x))return x

3. ReLU函数

ReLU函数公式为 $f(x)=max(0,x)$，它的输出值在[0,无穷)之间，可以用来解决分类和回归问题。它有以下优点：1）解决了梯度消失问题；2）计算速度快。

PyTorch的代码示例：

import torch.nn.functional as Fclass Net(nn.Module):def __init__(self):super(Net, self).__init__()self.fc1 = nn.Linear(10, 5)self.fc2 = nn.Linear(5, 1)def forward(self, x):x = F.relu(self.fc1(x))x = F.relu(self.fc2(x))return x

4. LeakyReLU函数

LeakyReLU函数公式为 $f(x)=max(0.01x,x)$，它的输出值在(-无穷,无穷)之间，是ReLU的改进版。在输入值为负数时，它不是完全为0，而是有一个小的斜率，可以避免神经元死亡。

PyTorch的代码示例：

import torch.nn.functional as Fclass Net(nn.Module):def __init__(self):super(Net, self).__init__()self.fc1 = nn.Linear(10, 5)self.fc2 = nn.Linear(5, 1)self.LeakyReLU = nn.LeakyReLU(0.01)def forward(self, x):x = self.LeakyReLU(self.fc1(x))x = self.LeakyReLU(self.fc2(x))return x

5. PReLU函数

PReLU函数公式为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{if x>0}\\ \alpha x,& \text{otherwise}\end{array}$$

其中 $\alpha$ 是可学习的参数，它的输出值在(-无穷,无穷)之间，是LeakyReLU的改进版。与LeakyReLU不同的是，$\alpha$ 不是固定的，而是可以根据训练数据自适应调节。

PyTorch的代码示例：

import torch.nn.functional as Fclass Net(nn.Module):def __init__(self):super(Net, self).__init__()self.fc1 = nn.Linear(10, 5)self.fc2 = nn.Linear(5, 1)self.PReLU = nn.PReLU()def forward(self, x):x = self.PReLU(self.fc1(x))x = self.PReLU(self.fc2(x))return x

6. ELU函数：

ELU函数的数学公式为$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x>0\\ \alpha (e^x-1),& x\le 0\end{array}$，它是另一种解决ReLU“死亡”现象的函数，通过引入一个指数函数来平滑负数区间。

以下是使用PyTorch实现ELU函数的代码示例：

import torch.nn.functional as Fx = torch.randn(2, 3)
y = F.elu(x, alpha=1.0)
print(y)

深度学习中常用的激活函数有sigmoid、ReLU、LeakyReLU、ELU、SeLU等，其中gelu是近年来提出的一种新的激活函数。

7. GELU函数：

GELU (Gaussian Error Linear Units)函数是一种近年来提出的新型激活函数，其原理是基于高斯误差函数的近似。其作用是在保持ReLU函数优点的同时，减少其缺点。将输入的值$x$通过高斯分布的累积分布函数（CDF）$F(x)$，来获得激活函数的输出值。其数学表达式如下：

$$\mathrm{gelu}(x)=x\cdot \Phi (x),\mathrm{其中}\Phi (x)=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})]$$
其中，$\Phi (x)$为高斯分布的累积分布函数。

GELU函数具有以下特点：

• 可微性：GELU函数可导，可以使用反向传播算法训练神经网络。
• 非线性：与ReLU函数相似，GELU函数具有非线性特点，可以学习非线性函数。
• 平滑性：GELU函数在整个实数轴上都是连续可导的，可以减少梯度消失和爆炸问题。
• 计算效率高：由于GELU函数采用了近似求解，计算速度较ReLU函数更快。

由于高斯分布的概率密度函数（PDF）在均值处最大，因此gelu在接近0的地方具有很好的非线性特性，同时也有一定的平滑性，能够一定程度上减少梯度消失问题，提高模型的泛化能力。

PyTorch代码示例：

import torch.nn as nnclass MyModel(nn.Module):def __init__(self):super(MyModel, self).__init__()self.fc = nn.Linear(10, 20)self.act = nn.GELU()def forward(self, x):x = self.fc(x)x = self.act(x)return xmodel = MyModel()

import torch
import torch.nn.functional as Fclass Net(torch.nn.Module):def __init__(self):super(Net, self).__init__()self.fc1 = torch.nn.Linear(10, 20)self.fc2 = torch.nn.Linear(20, 2)def forward(self, x):x = F.gelu(self.fc1(x))x = F.gelu(self.fc2(x))return x

在上述示例代码中，我们使用了PyTorch中的F.gelu函数，实现了GELU激活函数对网络中的每个神经元进行激活。