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🍓OJ题目截图

🥧 披萨大作战

题目描述

K小姐和A先生到披萨店点了一份圆形披萨,并嘱咐店员将披萨切成大小相同的偶数块。但是粗心的服务员把披萨切成了大小不一的 $N$ 块,且 $N$ 为奇数。

为了公平起见,两人商量了一个取披萨的规则:从K小姐开始,轮流取披萨。除了第一块披萨可以随意选取外,其余的披萨必须从上一个人取完的披萨的相邻位置开始取。

A先生每次都会选择剩下披萨中最大的一块,而K小姐知道A先生的这个特点。现在给定每块披萨的大小,请问K小姐最多能够取到多少大小的披萨呢?

输入格式

第一行包含一个正整数 $N$,表示披萨被切成了 $N$ 块。

接下来 $N$ 行,每行一个正整数,第 $i$ 行的整数表示第 $i$ 块披萨的大小 $A_i$。

输出格式

输出一个整数,表示K小姐最多能够取到的披萨大小之和。

样例输入

5
8
2
10
5
7

样例输出

19

数据范围

• $3\le N<500$,保证 $N$ 为奇数
• $1\le A_i\le 2147483647$

题解

本题可以使用记忆化搜索来解决。

定义 $solve(L,R)$ 表示当前还剩下第 $L$ 块到第 $R$ 块披萨时,K小姐能够取到的最大披萨大小之和。那么答案就是 $max(solve((i+1)\mathrm{mod}N,(i-1+N)\mathrm{mod}N)+A_i)$,其中 $0\le i<N$。

对于函数 $solve(L,R)$,我们可以分情况讨论:

1. 如果 $L=R$,那么只剩下一块披萨,K小姐直接取走,因此 $solve(L,R)=A_L$。

2. 如果 $L\ne R$,那么A先生会取走两端披萨中较大的一块。设 $L^{\prime }$ 和 $R^{\prime }$ 分别表示取走披萨后的左右端点,那么有:

   • 如果 $A_L>A_R$,那么 $L^{\prime }=(L+1)\mathrm{mod}N,R^{\prime }=R$
   • 如果 $A_L\le A_R$,那么 $L^{\prime }=L,R^{\prime }=(R-1+N)\mathrm{mod}N$

   因此 $solve(L,R)=max(A_L+solve(L^{\prime },R),A_R+solve(L,R^{\prime }))$。

为了避免重复计算,我们可以使用记忆化数组 $dp$ 来保存已经计算过的状态。其中 $dp[i][j]$ 表示当前还剩下第 $i$ 块到第 $j$ 块披萨时,K小姐能够取到的最大披萨大小之和。

时间复杂度 $O(N^2)$,空间复杂度 $O(N^2)$。

参考代码

• Python

N = int(input())
A = [int(input()) for _ in range(N)]
dp = [[-1] * N for _ in range(N)]def solve(L, R):if A[L] > A[R]:L = (L + 1) % Nelse:R = (R - 1 + N) % Nif dp[L][R] != -1:return dp[L][R]if L == R:dp[L][R] = A[L]else:dp[L][R] = max(A[L] + solve((L+1)%N, R), A[R] + solve(L, (R-1+N)%N))return dp[L][R]ans = 0
for i in range(N):ans = max(ans, solve((i+1)%N, (i-1+N)%N) + A[i])print(ans)

• Java

import java.util.Scanner;public class Main {static int N;static int[] A;static int[][] dp;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);N = sc.nextInt();A = new int[N];for (int i = 0; i < N; i++) {A[i] = sc.nextInt();}dp = new int[N][N];for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {dp[i][j] = -1;}}int ans = 0;for (int i = 0; i < N; i++) {ans = Math.max(ans, solve((i+1)%N, (i-1+N)%N) + A[i]);}System.out.println(ans);}static int solve(int L, int R) {if (A[L] > A[R]) {L = (L + 1) % N;} else {R = (R - 1 + N) % N;}if (dp[L][R] != -1) {return dp[L][R];}if (L == R) {dp[L][R] = A[L];} else {dp[L][R] = Math.max(A[L] + solve((L+1)%N, R), A[R] + solve(L, (R-1+N)%N));}return dp[L][R];}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 500;
int n, a[N], dp[N][N];int solve(int L, int R) {if (a[L] > a[R]) {L = (L + 1) % n;} else {R = (R - 1 + n) % n;}if (dp[L][R] != -1) {return dp[L][R];}if (L == R) {dp[L][R] = a[L];} else {dp[L][R] = max(a[L] + solve((L+1)%n, R), a[R] + solve(L, (R-1+n)%n));}return dp[L][R];
}int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];}memset(dp, -1, sizeof(dp));int ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {ans = max(ans, solve((i+1)%n, (i-1+n)%n) + a[i]);}cout << ans << endl;return 0;
}