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逻辑回归是一种经典的统计学习方法，用于分类问题尤其是二分类问题。它通过学习数据的特征和目标标签之间的关系，输出样本属于某个类别的概率。本文将从零开始用Python实现逻辑回归模型，深入探讨其数学原理，并逐步讲解如何编写代码实现。我们会涵盖从数据预处理、特征归一化、梯度下降算法到模型训练的每一个细节。通过丰富的代码示例和详细的中文注释，本文将帮助读者从头掌握逻辑回归模型的构建与优化。

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正文

目录

1. 逻辑回归简介
2. 逻辑回归的数学原理
   • 2.1 逻辑回归的假设函数
   • 2.2 损失函数的推导
   • 2.3 梯度下降优化
3. 从零开始实现逻辑回归模型
   • 3.1 数据预处理
   • 3.2 逻辑回归模型类的定义
   • 3.3 编写模型训练方法
   • 3.4 编写模型预测方法
4. 逻辑回归模型的性能评估
   • 4.1 准确率与混淆矩阵
   • 4.2 交叉验证
5. 完整代码实现
6. 实验与结果分析
7. 总结

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1. 逻辑回归简介

逻辑回归是一种广泛应用的分类模型，通常用于二分类问题。不同于线性回归直接输出一个数值，逻辑回归使用一个Sigmoid函数将预测值映射到[0, 1]区间，以此表示样本属于某个类别的概率。逻辑回归的目标是找到最佳的参数，使得模型能够正确地将输入映射到相应的类别。

2. 逻辑回归的数学原理

逻辑回归的数学基础是线性模型，通过线性组合的输入特征生成一个预测值，然后利用Sigmoid函数将其转换为概率。

2.1 逻辑回归的假设函数

逻辑回归的假设函数为：

$$h_{\theta }(x)=\sigma ({\theta }^{T}x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$$

其中：
-$$h_{\theta }(x)$$ 是预测的概率值；

• $$\theta$$ 是模型的参数向量；
• $$x$$ 是特征向量；
• $$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$是Sigmoid激活函数。

Sigmoid函数的输出在(0, 1)之间，表示样本属于正类（标签为1）的概率。

2.2 损失函数的推导

逻辑回归的目标是最小化损失函数（Cost Function），通常选择对数似然函数作为损失函数。对于单个样本，损失函数为：

$$L(h_{\theta }(x),y)=-y\log (h_{\theta }(x))-(1-y)\log (1-h_{\theta }(x))$$

其中 y 为样本的真实标签。当 y=1 时，我们最小化$$-\log (h_{\theta }(x))$$；当 y=0 时，我们最小化$$-\log (1-h_{\theta }(x))$$。

总体的损失函数，即所有样本的平均损失为：

$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(-y^{(i)}\log (h_{\theta }(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})\log (1-h_{\theta }(x^{(i)}))\right)$$

2.3 梯度下降优化

为了优化损失函数，我们可以使用梯度下降法更新参数 ( \theta )。梯度下降的更新公式为：

$$\theta =\theta -\alpha \nabla J(\theta )$$

其中：
$$\alpha$$ 是学习率；
-$$\nabla J(\theta )$$ 是损失函数 $$J(\theta )$$关于参数的梯度。

梯度的计算公式为：

$$\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_j}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}\right)x_j^{(i)}$$

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3. 从零开始实现逻辑回归模型

接下来，我们将逐步实现逻辑回归模型，包括数据预处理、模型定义、训练和预测。

3.1 数据预处理

首先，我们使用一个简单的二分类数据集。数据集需要进行标准化处理，以提高模型的训练效果。

import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 生成简单的二分类数据集
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(100, 2)  # 100个样本，每个样本2个特征
y = (X[:, 0] + X[:, 1] > 0).astype(int)  # 简单的线性可分数据# 数据划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)

3.2 逻辑回归模型类的定义

接下来，我们定义逻辑回归模型类，包括初始化、Sigmoid函数和损失函数的实现。

class LogisticRegression:def __init__(self, learning_rate=0.01, n_iterations=1000):self.learning_rate = learning_rateself.n_iterations = n_iterationsself.weights = Noneself.bias = Nonedef sigmoid(self, z):# 定义Sigmoid激活函数return 1 / (1 + np.exp(-z))def compute_cost(self, y, y_pred):# 计算损失函数m = len(y)cost = (-1 / m) * np.sum(y * np.log(y_pred) + (1 - y) * np.log(1 - y_pred))return cost

3.3 编写模型训练方法

使用梯度下降算法优化模型参数。梯度计算基于损失函数的偏导数。

    def fit(self, X, y):# 初始化参数m, n = X.shapeself.weights = np.zeros(n)self.bias = 0for i in range(self.n_iterations):# 计算线性模型的预测值linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.biasy_pred = self.sigmoid(linear_model)# 计算梯度dw = (1 / m) * np.dot(X.T, (y_pred - y))db = (1 / m) * np.sum(y_pred - y)# 更新权重和偏差self.weights -= self.learning_rate * dwself.bias -= self.learning_rate * db# 每100次迭代打印一次损失if i % 100 == 0:cost = self.compute_cost(y, y_pred)print(f"Iteration {i}: Cost {cost}")

3.4 编写模型预测方法

逻辑回归的预测输出是一个概率值，可以通过设置一个阈值（如0.5）来决定样本属于哪个类别。

    def predict(self, X):# 预测函数linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.biasy_pred = self.sigmoid(linear_model)return [1 if i > 0.5 else 0 for i in y_pred]

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4. 逻辑回归模型的性能评估

为了评估逻辑回归模型的性能，我们使用准确率和混淆矩阵。

4.1 准确率与混淆矩阵

准确率表示正确预测的比例，混淆矩阵能更清晰地展示模型的分类表现。

from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix# 模型训练与预测
model = LogisticRegression(learning_rate=0.1, n_iterations=1000)
model.fit(X_train, y_train)
predictions = model.predict(X_test)# 计算准确率和混淆矩阵
accuracy = accuracy_score(y_test, predictions)
conf_matrix = confusion_matrix(y_test, predictions)print(f"Accuracy: {accuracy}")
print(f"Confusion Matrix:\n{conf_matrix}")

4.2

交叉验证

交叉验证通过多次数据划分和训练，得到模型更加稳定和可靠的性能评价。

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5. 完整代码实现

以下是逻辑回归模型的完整代码实现：

import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrixclass LogisticRegression:def __init__(self, learning_rate=0.01, n_iterations=1000):self.learning_rate = learning_rateself.n_iterations = n_iterationsself.weights = Noneself.bias = Nonedef sigmoid(self, z):return 1 / (1 + np.exp(-z))def compute_cost(self, y, y_pred):m = len(y)cost = (-1 / m) * np.sum(y * np.log(y_pred) + (1 - y) * np.log(1 - y_pred))return costdef fit(self, X, y):m, n = X.shapeself.weights = np.zeros(n)self.bias = 0for i in range(self.n_iterations):linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.biasy_pred = self.sigmoid(linear_model)dw = (1 / m) * np.dot(X.T, (y_pred - y))db = (1 / m) * np.sum(y_pred - y)self.weights -= self.learning_rate * dwself.bias -= self.learning_rate * dbif i % 100 == 0:cost = self.compute_cost(y, y_pred)print(f"Iteration {i}: Cost {cost}")def predict(self, X):linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.biasy_pred = self.sigmoid(linear_model)return [1 if i > 0.5 else 0 for i in y_pred]# 数据准备
np.random.seed(0)
X = np.random.randn(100, 2)
y = (X[:, 0] + X[:, 1] > 0).astype(int)X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)# 训练与评估
model = LogisticRegression(learning_rate=0.1, n_iterations=1000)
model.fit(X_train, y_train)
predictions = model.predict(X_test)accuracy = accuracy_score(y_test, predictions)
conf_matrix = confusion_matrix(y_test, predictions)print(f"Accuracy: {accuracy}")
print(f"Confusion Matrix:\n{conf_matrix}")

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6. 实验与结果分析

在不同的学习率、迭代次数、数据分布下，我们可以调整模型参数并观察损失函数的变化。

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7. 总结

本文从零开始用Python实现了逻辑回归模型，包括数学原理、代码实现和性能评估。通过这些步骤，读者可以深入理解逻辑回归的工作原理，并掌握如何从头构建和优化分类模型。