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本文章的素材与知识均来自于李国良老师的数据库管理系统课程。 

• 关系代数

一.基本关系代数运算

基本关系代数运算包括：选择、投影、并、差、笛卡尔积、重命名。

1.选择（select）

选择运算用于从关系R中获取满足条件的元组。

（1） 𝜎为选择运算符号。R为关系表。

（2）𝑝为选择谓词，由逻辑运算符和 与、或、非 连接的若干原子表达式构成的公式。

（3）原子表达式的形式为：𝑋 𝜃 𝑌。其中X、Y为属性名、常量或函数值。𝜃 为比较运算符，包括：等于、大于、小于、大于等于、小于等于、不等于。

（4）例如：

表示选择关系Student中，Sdept属性为"CS"的学生。

（5）例如：

表示选择关系Student中，Sdept属性为"CS"并且年龄大于等于18岁的学生，和所有Sdept属性为"MA"的学生。

2.投影（project）

投影运算用于从关系R中获取某些列组成新的关系。

（1）A1,A2,...Ak为关系R的属性列

（2）返回R中A1,A2,...Ak属性列上的元组，并去除重复元组。

（3）例如：

表示查询关系Student中，Sdept属性为"CS"的学生的Sno属性和Sname属性。查询结果为：

3.并（union）

并运算用于返回关系R和关系S中元组取并集的结果。

（1）关系R和关系S的属性个数要相同。

（2）关系R和关系S的属性应存在一一对应的关系。

（3）关系R中属性的域应和关系S中对应属性的域相同。

（4）例如：

表示查询关系Student中所有Sage属性为17和18的学生。查询结果为：

4.差（difference）

差运算用于返回在关系R中但不在关系S中的元组集合。

（1）关系R和关系S的属性个数要相同。

（2）关系R和关系S的属性应存在一一对应的关系。

（3）关系R中属性的域应和关系S中对应属性的域相同。

（4）例如：

表示查询关系Student中Sdept属性为"CS"但Sage属性小于18的学生。

5.笛卡尔积（Cartesian product）

笛卡尔积运算用于返回关系R中的元组和关系S中的元组作笛卡尔积的结果。

（1）若关系R中的元组个数为m，关系S中的元组个数为n，则RxS返回的元组个数为mxn。

（2）例如：

6.重命名（rename）

重命名运算用于对关系名和属性名做出修改。

（1）将关系R重命名为关系S。

（2）将关系R中的属性从左往右依次修改为A1,A2,...An。

（3）𝜌𝑆(𝑅) 表示只将关系R重命名为关系S，不修改属性名。

（4）例如：假设关系SC中存在属性Sno、Cno、Grade，则

表示将关系SC重命名为关系StudentCourse，并将其中的Grade属性重命名为Score属性。

二.附加关系代数运算

附加关系代数运算包括：交、连接、赋值、除。

附加关系表达式是由基本关系表达式推导出来的，用于简化表达。

1.交（intersection）

交运算用于返回关系R和关系S中元组取并集的结果。

（1）关系R和关系S的属性个数要相同。

（2）关系R和关系S的属性应存在一一对应的关系。

（3）关系R中属性的域应和关系S中对应属性的域相同。

（4）例如：

表示选择关系Student中，Sdept属性为"CS"并且Sage属性大于等于18的学生。

2.连接（join）

连接运算用于返回关系R和关系S的笛卡尔积运算结果中满足一定条件的元组。

（1）𝑝为选择谓词，由逻辑运算符和 与、或、非 连接的若干原子表达式构成的公式。

（2）连接运算可以用笛卡尔积运算和选择运算来表示。

（3）例如：

表示选择关系Student和关系SC中Sno属性相等的学生。选择结果为：

连接运算是基于笛卡尔积运算，因此返回的结果中，两边的属性都要体现。

3.等值连接（equijoin）

（1）当选择谓词p的比较运算符是"="时，该连接运算即为等值连接。

（2）例如上述的连接例子就是等值连接。

4.自然连接（natural join）

（1）自然连接将连接条件指定为关系R和关系S中所有同名属性作等值连接，因此选择谓词p可省略不写。

（2）例如：

表示选择关系Student和关系SC中所有同名属性值都相等的学生。查询结果为：

（3）自然连接是一种特殊的等值连接。等值连接需要指定作等值运算的两个属性；而自然连接是对所有同名属性都作等值运算。

（4）上述关系Student和关系SC作等值连接的例子中，由于两个关系的同名属性只有Sno，因此等值连接就是自然连接。但是如果两个关系还存在其他同名属性，则此时等值连接不再是自然连接，因为等值连接只指定了一组同名属性Sno，而自然连接要求所有同名属性。

5.左外连接（left outer join）

（1）左外连接就是：在自然连接的基础上，保留左边关系R的所有元组，而对于关系R中那些右边关系S的同名属性没有相同取值的元组，则用空值填充右边关系S中的属性。

6.右外连接（right outer join）

（1）右外连接就是：在自然连接的基础上，保留右边关系S的所有元组，而对于关系S中那些左边关系R的同名属性没有相同取值的元组，则用空值填充左边关系S中的属性。

7.全外连接（full outer join）

（1）全外连接就是左外连接和右外连接查询结果的并集。

（2）例如：

上述例子中，关系R与关系S做全连接得到的结果还应去重，例子中未作去重，需修正。

8.赋值（assignment）

（1）赋值运算可以将 "←" 右侧的关系代数表达式结果E赋值给 "←" 左侧的关系变量T。

（2）赋值运算用于分解复杂的关系代数表达式，使查询变得简单。

（3）例如：

表示将关系Student和关系SC基于属性Sno作等值连接，并将连接结构赋值给关系变量result。

9.除（division）

除运算会返回关系R中在属性A1,A2,...Am上的元组t，其中元组t和关系S中的任意元组q的组合都会出现在关系R中。

（1）关系R必须包含关系S的所有属性，若关系S存在一个关系R没有的属性，则无法进行除运算。

（2）返回的结果属性是A1,A2,...Am，即关系R中除去与关系S共有的属性。

（3）除运算可以用投影运算和笛卡尔积运算表示：

（4）例如：Student ÷ Course 表示查询选择所有课程的学生。

（5）例如：

关系R中，只有a所在的元组对应的属性B的值，包含了关系S中属性B的所有可能。

三.扩展关系代数运算

扩展关系代数运算包括：去重、广义投影、聚集、分组、排序。

1.去重（remove duplicates）

（1）去重运算用于将关系R中的重复元组去除，并返回去除重复元组后的关系。

（2）例如：

表示查询关系Student中所有系的信息。查询结果为：

2.广义投影（generalized projection）

（1）广义投影用于使用算数运算和字符串函数等来对投影运算进行扩展。

（2）F1,F2,...Fk为包含常量、变量(关系R中的属性)、运算符、函数等的多个表达式。

（3）例如：

表示查询所有学生的学号、姓名、出生年份(假设当前为2021年)。查询结果为：

3.聚集（aggregation）

（1）聚集运算用于查询关系R按某些属性的值聚集在一起的结果。

（2）A1,A2,...Ak为关系R的属性列，F1,F2,...Fk为在属性Ai上的聚集函数，常见的聚集函数包括：count、sum、avg、min、max等。

（3）例如：

表示查询学生总人数。

4.分组（group）

 

（1）分组运算首先对关系R中的元组按照某些属性列的值进行分组，再在各组上作聚集运算。

（2）先分组，再做聚集运算。

（3）G1,G2,...Gl是用来分组的一些列属性，关系R中那些属性Gi的值相等的元组会被分到同一组。

（4）例如：

表示查询各个系男生和女生的人数。查询结果为：

5.排序（sort）

（1）排序运算用于将关系R中的元组按照一列或多列的值排序。

（2）A1,A2,...Ak是用于排序的属性列。先将关系R中的元组按照属性列A1的值进行排序，若A1值相同，则再按A2的值进行排序，以此类推。排序优先级由高到低。

（3）例如：

将关系Student按照Sage属性排序，若Sage属性相同，则再按照Sno属性排序。查询结果为：

• 关系演算

一.元组关系演算

例如：

二.域关系演算

例如：